線性代數中，一個矩陣如果符合下列條件的話，我們稱之為列階梯形矩陣或列梯形式矩陣（英語：Row Echelon Form）：
- 若某列有個非零元素，則必在任何全零列之上。
- 某列最左邊的（即第一個）非零元素稱為首項系數（leading coefficient）。某列的首項系數必定比上一列的首項系數更靠右（某些版本會要求非零列的首項系數必須是1[1]）。
因為首項系數要不是最靠右的，要不就是左邊都是零，所以根據上面二點，在首項系數所在的行中，在首項系數下面的元素都會是零。
這個3×4矩陣是列階梯形矩陣：
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&a_{1}&a_{2}&b_{1}\\0&2&a_{3}&b_{2}\\0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badc06dd95232274f69fa392481f1f1292842886)
有時候，增廣矩陣右邊的直線也會省略。
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1&a_{1}&a_{2}&b_{1}\\0&2&a_{3}&b_{2}\\0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/350b679f2bac92c41ee31058bd36ba7542172a3e)
簡化列階梯形矩陣[編輯]
簡化列階梯形矩陣或簡約列梯形式矩陣（reduced row echelon form），也稱作列規範形矩陣（row canonical form），如果滿足額外的條件：
- 每個首項系數是1，且是其所在行的唯一的非零元素。例如：
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc|c}1&0&a_{1}&0&b_{1}\\0&1&a_{2}&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/530b9a218da41b816d92865b882e6b89e595311e)
注意，這並不意味着簡化列階梯形矩陣的左部總是單位陣。例如，如下的矩陣是簡化列階梯形矩陣：
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc|c}1&0&1/2&0&b_{1}\\0&1&-1/3&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640d36cafff94579ed7aac7a7751b870ce7e9dff)
因為第3列並不包含任何列的首項系數。
矩陣轉換到列階梯形矩陣[編輯]
通過有限步的列初等轉換，任何矩陣可以轉換為列階梯形矩陣。由於列初等轉換保持了矩陣的列空間，因此列階梯形矩陣的列空間與轉換前的原矩陣的列空間相同。
列階梯形矩陣的結果並不是唯一的。例如，列階梯形矩陣乘以一個純量系數仍然是列階梯形矩陣。但是，可以證明一個矩陣的簡化列階梯形矩陣是唯一的。
線性方程組[編輯]
如果一個線性方程組的增廣矩陣是列階梯形矩陣，則其系數矩陣也是列階梯形矩陣。類似的，如果一個線性方程組的增廣矩陣是簡化列階梯形矩陣，則其系數矩陣也是簡化列階梯形矩陣。
一些示例[編輯]
定義：
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&1&a_{4}&a_{5}\\0&0&1&a_{6}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecdbc2f2d71e8c1e9bc1e63c755ab4bc8f240343)
例子：
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1&8&9\\0&1&2\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cccc}1&-6&33\\0&1&0\\0&0&0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52074a1d6c94f669609bc7937a98536ebc7f39d6)
錯誤示例：
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&-8\\0&1&0&0\\0&4&1&26\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}1&-29&3\\0&0&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}0&1&2\\1&6&7\\0&0&1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb26dc6ddea29e9db3dc03641ed371682a633d5a)
註：
- 矩陣1：第二行的第一非零項1的下方的行項不全為零（有非零項4），見定義第二條，所以不是列階梯型矩陣。
- 矩陣2：全為零的列應該在非全為零列的下方，見定義第三條，所以不是列階梯型矩陣。
- 矩陣3：k+1列比k列的第一個非零項之前的0少，見定義第三條，所以不是列階梯型矩陣。
簡化列階梯形矩陣的例子：
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccccc|c}1&9&0&5&0&17\\0&0&1&0&0&-3\\0&0&0&0&1&32\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}0&0\\0&0\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568cc39fba1fc09caec583d36289a9f9b1c0c3c4)
參考來源[編輯]
- ^ Leon, Steve, Linear Algebra with Applications 8th, Pearson: 13, 2009, ISBN 978-0136009290
